Tổng của một chuỗi hình học là hữu hạn nếu chuỗi này tiến về 0; với những số gần bằng 0, thì nó trở thành các số vô cùng bé cho nên có thể bỏ qua và vẫn có thể tính được tổng mặc dù chuỗi này tiến đến vô cùng. Máy tính cũng có thể tính được tổng này bằng cách sử dụng chuỗi tự đồng dạng.

Ví dụ

Hình ảnh minh họa về tính chất tự đồng dạng của tổng s.

Xét tổng của chuỗi hình học sau:

s = 1 + 2 3 + 4 9 + 8 27 + ⋯ {\displaystyle s\;=\;1\,+\,{\frac {2}{3}}\,+\,{\frac {4}{9}}\,+\,{\frac {8}{27}}\,+\,\cdots }

Chuỗi này có công bội là 2/3. Nếu ta nhân cả hai vế phương trình trên với 2/3, ta có:

2 3 s = 2 3 + 4 9 + 8 27 + 16 81 + ⋯ {\displaystyle {\frac {2}{3}}s\;=\;{\frac {2}{3}}\,+\,{\frac {4}{9}}\,+\,{\frac {8}{27}}\,+\,{\frac {16}{81}}\,+\,\cdots }

Trừ 1 và cộng 1 vào vế phải:

2 3 s = − 1 + ( 1 + 2 3 + 4 9 + 8 27 + 16 81 + ⋯ ) {\displaystyle {\frac {2}{3}}s\;=-1+(1+\;{\frac {2}{3}}\,+\,{\frac {4}{9}}\,+\,{\frac {8}{27}}\,+\,{\frac {16}{81}}\,+\,\cdots )} 2 3 s = − 1 + s {\displaystyle {\frac {2}{3}}s\;=-1+s} s − 2 3 s = 1 , nên  s = 3. {\displaystyle s\,-\,{\tfrac {2}{3}}s\;=\;1,\;\;\;{\mbox{nên }}s=3.}

Đối với các chuỗi tự đồng dạng khác cũng có thể giải bằng cách này.

Công thức

Cho r ≠ 1 {\displaystyle r\neq 1} , thì tổng của n phần tử đầu tiên của chuỗi:

a + a r + a r 2 + a r 3 + ⋯ + a r n − 1 = ∑ k = 0 n − 1 a r k = a 1 − r n 1 − r , {\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n-1}=\sum _{k=0}^{n-1}ar^{k}=a\,{\frac {1-r^{n}}{1-r}},}

Với a là phần tử đầu tiên của chuỗi, r là công bội. Ta có thể biến đổi công thức như sau:

Đặt:

s = a + a r + a r 2 + a r 3 + ⋯ + a r n − 1 {\displaystyle s=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n-1}}

Nhân 2 vế với r:

r s = a r + a r 2 + a r 3 + a r 4 + ⋯ + a r n {\displaystyle rs=ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+\cdots +ar^{n}} s − r s = a − a r n {\displaystyle s-rs=a-ar^{n}} s ( 1 − r ) = a ( 1 − r n ) , {\displaystyle s(1-r)=a(1-r^{n}),}

Suy ra:

s = a 1 − r n 1 − r . {\displaystyle s=a{\frac {1-r^{n}}{1-r}}.}

Khi n tiến đến vô cùng, công bội r phải nhỏ hơn 1 thì chuỗi mới có thể hội tụ, tổng của chuỗi khi đó là:

s = ∑ k = 0 ∞ a r k = a 1 − r = a + a r + a r 2 + a r 3 + a r 4 + ⋯ . {\displaystyle s\;=\;\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}={\frac {a}{1-r}}=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+\cdots .}

Nếu a = 1, dễ dàng ta có:

1 + r + r 2 + r 3 + ⋯ = 1 1 − r , {\displaystyle 1\,+\,r\,+\,r^{2}\,+\,r^{3}\,+\,\cdots \;=\;{\frac {1}{1-r}},}

Vế trái là một chuỗi hình học với công bội r, ta biến đổi công thức:

Đặt:

s = 1 + r + r 2 + r 3 + ⋯ . {\displaystyle s=1+r+r^{2}+r^{3}+\cdots .}

Nhân 2 vế với r:

r s = r + r 2 + r 3 + ⋯ . {\displaystyle rs=r+r^{2}+r^{3}+\cdots .}

Suy ra:

s − r s = 1 ,  nên  s ( 1 − r ) = 1 ,  suy ra  s = 1 1 − r . {\displaystyle s-rs=1,{\text{ nên }}s(1-r)=1,{\text{ suy ra }}s={\frac {1}{1-r}}.}

Tính chất hội tụ

1 + r + r 2 + r 3 + ⋯ = lim n → ∞ ( 1 + r + r 2 + ⋯ + r n ) = lim n → ∞ 1 − r n + 1 1 − r {\displaystyle {\begin{aligned}&1\,+\,r\,+\,r^{2}\,+\,r^{3}\,+\,\cdots \\[3pt]&=\;\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1\,+\,r\,+\,r^{2}\,+\,\cdots \,+\,r^{n}\right)\\&=\;\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}\end{aligned}}}

Vì (1 + r + r2 +... + rn)(1−r) = 1−rn+1 và rn+1 → 0 đối với | r | < 1.